گسترش فرمول مریم میرزاخانی

اولین کار او با سطوح «هذلولی» سروکار داشت. درچنین سطحی، خطوط موازی به جای این‌که از هم فاصله بگیرند، از یکدیگر دور می‌شوند و در هر نقطه، سطح در دو جهت متضاد مانند یک زین منحنی می‌شود. اگرچه می‌توانیم سطح یک کره یا دونات را به تصویر بکشیم اما سطوح هذلولی دارای چنان ویژگی‌های هندسی عجیبی هستند که تجسم آنها غیرممکن است. درک سطوح هذلولی بسیار مهم است، زیرا چنین سطوحی در همه جا وجود دارند؛ در ریاضیات و حتی نظریه ریسمان (String theory).
میرزاخانی نقشه‌بردار تأثیرگذار جهان هذلولی بود. در دوران تحصیلات تکمیلی، او تکنیک‌های پیشگامانه‌ای را توسعه داد که به او اجازه داد پیش از آن‌که به انقلابی در دیگر زمینه‌های تحقیقات ریاضی بپردازد، فهرست‌نویسی این اشکال را آغاز کند. میرزاخانی امیدوار بود که نقشه خود از قلمرو هذلولی را در زمانی دیگر دوباره بررسی کند تا جزئیات آن را پر کند و اکتشافات جدیدی انجام دهد. اما پیش از این‌که بتواند این کار را انجام دهد، تشخیص داده شد که به سرطان مبتلاست. میرزاخانی در سال ۲۰۱۷ (۱۳۹۶) در ۴۰ سالگی درگذشت.
دو ریاضیدان از آن زمان به موضوع کار میرزاخانی پرداختند و میراث او را برای درک عمیق‌تری از سطوح هذلولی در‌نظر گرفتند. در مقاله‌ای که ماه گذشته به صورت آنلاین منتشر شد، نالینی آنانتارامان از کالج فرانسه و لورا مونک از دانشگاه بریستول، از اساس تحقیقات میرزاخانی برای اثبات اظهاراتی گسترده در مورد سطوح «هذلولی معمولی» استفاده کرده‌اند. آنها نشان داده‌اند که سطوحی که زمانی تصور می‌شد کمیاب است (اگر نگوییم غیرممکن)، در حقیقت رایج هستند. در واقع اگر بخواهید یک سطح هذلولی را به صورت تصادفی انتخاب کنید، اساسا تضمین می‌شود که دارای ویژگی‌های حیاتی خاصی باشد.
پیتر سارناک، ریاضیدان دانشگاه پرینستون، گفت: «این یک نتیجه برجسته است. نتایج خیلی بیشتر از این نیز اتفاق خواهد افتاد.»
این کار که هنوز مورد بررسی مشابه قرارنگرفته‌، نشان می‌دهدکه سطوح هذلولی حتی عجیب‌تر از چیزی است که کسی تصورش را کرده بود. این اثبات همچنین روی میراث عظیم ریاضی میرزاخانی بنا شده و رویای او را برای روشن کردن این جهان از اشکال غیرقابل‌تصور، دوباره شعله‌ور می‌کند.
   
آغاز پیگیری ایده‌های میرزاخانی
در سال ۲۰۱۸، تنها یک سال پس از مرگ میرزاخانی، مونک تحصیلات تکمیلی خود را با آنانتارامان آغاز کرد. اولین قدم او این بود که همه‌چیزی را که ممکن بود، در مورد کارهای میرزاخانی روی سطوح هذلولی یاد بگیرد.
مونک:«مشخص بود که اگر بتوانید تخمین کافی و دقیق از تعداد ژئودزیک‌های بسته روی یک سطح به دست آورید،(آن مسیرهای حلقه‌ای که میرزاخانی با دقت زیاد مطالعه کرده بود) می‌توانید شکاف طیفی سطح را محاسبه کنید.» مونک و آنانتارامان باید نشان دهند که تقریبا تمام سطوح هذلولی دارای شکاف طیفی ۱.۴هستند؛ یعنی با افزایش تعداد سوراخ‌های سطح، احتمال انتخاب سطحی با شکاف طیفی بهینه به صددرصد نزدیک می‌شود.
این دو پژوهشگر با فرمول شمارش ژئودزیک‌ها که میرزاخانی در دوره دکترای خود به آن دست یافت، شروع کردند. مشکل این بود که این فرمول تعداد ژئودزیک‌ها را دست‌کم می‌گیرد و بیشتر (اما نه همه) آنها را به حساب می‌آورد. یعنی ژئودزیک‌های پیچیده‌تری را که قبل از بازگشت به نقطه شروع خود، مانند شکل هشت (انگلیسی) که دو سوراخ را احاطه کرده است، از هم عبور می‌کنند، از دست می‌دهند.
اما مونک و آنانتارامان با استفاده از فرمول محدود میرزاخانی راهی برای اثبات یک شکاف طیفی نسبتا بزرگ یافتند. آنانتارامان گفت: «به نظر تقریبا یک معجزه بود. این هنوز برای من کاملا مرموز است که این فرمول این‌قدر خوب کار می‌کند.»
آنانتارامان که سابقه همکاری و دوستی نزدیک با میرزاخانی را داشت، ناگهان ایمیلی را که چند سال قبل از میرزاخانی دریافت کرده بود، به یاد آورد که در آن یک سری سؤالات در مورد رابطه بین شکاف طیفی و شمارش ژئودزیک مطرح می‌کرد. آنانتارامان گفت: «در آن زمان من واقعا نمی‌دانستم چرا مریم این همه سؤال را می‌پرسد اما اکنون از خود می‌پرسیم که آیا میرزاخانی ممکن است برای اتخاذ رویکردی مشابه برنامه‌ریزی کرده باشد؟»
مونک بخشی از زمان خود را در مقطع کارشناسی ارشد صرف یافتن راهی برای گسترش فرمول میرزاخانی به ژئودزیک‌های پیچیده‌تر کرد. در حین انجام این کار، او همچنین توضیحات مفصل و طولانی درباره مفاهیم کلیدی نوشت که میرزاخانی در مقالات اصلی خود به‌طور کامل توضیح نداده بود. او گفت: «من احساس می‌کنم برخی از ایده‌های او فقط روی میز گذاشته شد تا کسی آنها را برای جامعه توضیح دهد؛ زیرا او فرصتی برای انجام آن نداشت.»
تا سال ۲۰۲۱، مونک توانست متوجه شود که چگونه می‌تواند انواع ژئودزیک‌هایی را که قبلا غیرقابل‌دسترس بوده‌اند، شمارش کند. او و آنانتارامان می‌دانستند که با چند کار اضافی، احتمالا می‌توانند از فرمول جدید خود برای برآورد بهتر شکاف طیفی استفاده کنند. اما به‌جای انتشار یک نتیجه جزئی، آنها مصمم به رسیدن به هدف کامل ۱.۴بودند.
یک نوع خاص از ژئودزیک وجود داشت که مدام سر راه آنها قرار می‌گرفت. آنها به‌طور مداوم محاسبات را تکرار می‌کردند اما خروجی کوچک‌تر از۱.۴ بود. 
مونک گفت که وضعیت ناامیدکننده به نظر می‌رسید. ناراحتی او زمانی عمیق‌تر شد که دو تیم مستقل مقالاتی را به فاصله چند ماه منتشر کردند که در آن شکاف طیفی ۳.۱۶ را ثابت کردند. این خبر آنانتارامان را ناراحت نکرد. او فقط به رسیدن به۱.۴ اهمیت می‌داد. او گفت: «وقتی شروع به کار روی چیزی می‌کنم، به نوعی عاشق یک هدف دور می‌شوم.» ویژگی مشترکی که ظاهرا او با میرزاخانی داشت.
الکس رایت در تیمی بود که به نتیجه ۳.۱۶ دست یافت، دیدگاه او را درک می‌کرد.اوگفت:«برای یک دانشجوی فارغ‌التحصیل، غیرمعمول است که روی مشکلی به این اندازه بلندپروازانه کار کند وبه نظر نمی‌رسید که کسی راهی برای رسیدن به ۱.۴ بیابد.»
   
دستیابی به موفقیت
در اوایل سال ۲۰۲۳، این دو ریاضیدان مقاله‌ای نوشتند که آنچه را که تاکنون انجام داده‌اند، ترسیم کرد. در آن، آنها رکورد شکاف طیفی ۲.۹ را ثابت کردند. سال بعدش، آنها روش‌های فریدمن را تطبیق دادند و برنامه‌ای برای نحوه استفاده از آن برای رسیدن به ۱.۴ نوشتند. ماه گذشته آنها سرانجام اثبات را تکمیل کردند که نشان می‌دهد که یک سطح هذلولی که به‌طور تصادفی انتخاب شده احتمالا حداکثر شکاف طیفی را دارد. این نتیجه به ریاضیدانان بیشتر از آنچه که تاکنون می‌دانسته‌اند، در مورد سطوح هذلولی می‌گوید. محققان دیگر اکنون امیدوارند از تکنیک‌های این ریاضیدانان برای پاسخ به سؤالات اصلی دیگر از‌جمله یکی در مورد سطوح مهم در نظریه اعداد و دینامیک استفاده کنند.
مونک مفتخر است که توانسته میراث میرزاخانی را گسترش دهد و ریاضیدانان از دیدن این‌که این میراث در آینده چه چیزی به ارمغان خواهد آورد، هیجان‌زده هستند. رایت گفت: «متاسفم که میرزاخانی نمی‌تواند آن را ببیند.» زوریچ نیز در تایید رایت گفت: «قرار بود او آنجا باشد تا از این موضوع قدردانی کند. من 
شک ندارم که میرزاخانی بسیار خوشحال است.»

مریم میرزاخانی، پیشگام قلمروهای ریاضی بیگانه
 مریم میرزاخانی که در کودکی کتابخوانی مشتاق بود،امیدوار بود روزی برای خودش کتاب بنویسد. اما او در ریاضیات نیز عالی بود و در نهایت دو مدال طلا را درالمپیاد بین‌المللی ریاضی که یک مسابقه معتبر برای دانش‌آموزان دبیرستانی بود، به‌دست آورد. درسال۱۹۹۹ پس از فارغ‌التحصیلی از دانشگاه صنعتی شریف،برای تحصیلات تکمیلی به هاروارد رفت. در آنجا او عاشق هندسه هذلولی شد. او که یک پژوهشگرمشتاق بود، از چالش تلاش برای درک اشکالی که بنا به تعریف، قابل ترسیم نبودند، لذت می‌برد.
الکس رایت، ریاضیدان دانشگاه میشیگان و همکار سابق میرزاخانی در مقطع فوق‌دکترا، می‌گوید: «سطح هذلولی کمی شبیه یک پازل است که می‌توانید آن را به‌صورت موضعی کنار هم قرار دهید اما در واقع هرگز نمی‌توانید در جهان ما آن را تمام کنید. این به این دلیل است که هر قطعه از پازل به شکل یک زین منحنی است. شما می‌توانید چند قطعه را با هم بچسبانید اما هرگز نه به‌گونه‌ای که سطح را به‌طور کامل ببندید؛ حداقل نه در فضای صاف یا سه‌بعدی ما. این امر باعث می‌شود که بررسی سطوح هذلولی به‌ویژه دشوار باشد. حتی سؤالات اساسی در مورد آنها همچنان باز است.»
ریاضیدانان برای به‌دست آوردن دسته روی سطح هذلولی، حلقه‌های بسته‌ای را که روی آن وجود دارد‌، مطالعه می‌کنند. این حلقه‌ها که ژئودزیک نامیده می‌شوند، در اشکال مختلف هستند. برای یک شکل معین، آنها با بازگشت به شروع خود، کوتاه‌ترین مسیر ممکن را از یک نقطه به نقطه دیگر برمی‌دارند. هرچه سطح سوراخ‌های بیشتری داشته باشد، ژئودزیک آن متنوع‌تر و پیچیده‌تر می‌شود. با مطالعه تعداد ژئودزیک‌های متمایز با طول معین روی یک سطح، ریاضیدانان می‌توانند درک کنند که سطح به‌طور کلی چگونه به نظر می‌رسد.
کسری رفیع از دانشگاه تورنتو گفت: «میرزاخانی شیفته این منحنی‌های دور زده شد. در بحث با همکاران، او دائما آنها را مطرح می‌کرد. او اغلب با هیجان از ژئودزیک‌ها و اشیای مرتبط صحبت می‌کرد. انگار که آنها شخصیت‌های یک داستان هستند. یادم هست وقتی سخنرانی می‌کرد، همیشه این دو پرسش را مطرح می‌کرد: چند منحنی وجود دارد و آنها کجا هستند؟»
میرزاخانی زمانی که هنوز در مقطع کارشناسی ارشد بود، فرمولی ایجاد کرد که به او اجازه می‌داد تا برای هر سطح هذلولی، تعداد ژئودزیک‌ها را تا یک طول معین تخمین بزند. این فرمول نه فقط به او اجازه داد تا سطوح فردی را توصیف کند، همچنین او را قادر ساخت تا فرضیه معروفی را در نظریه ریسمان اثبات کند و به او بینشی در مورد انواع سطوح هذلولی داد که امکان ساخت آنها وجود دارد.میرزاخانی پس از پایان تحصیلات تکمیلی خود به پیشرفت‌های چشمگیری در هندسه، توپولوژی و سیستم‌های دینامیکی ادامه داد اما او هرگز موضوع پایان‌نامه دکترای خود را فراموش نکرد.